算法简介

Dijkstra算法是一种求最短路的算法,在使用优先队列进行优化后时间复杂度比较优秀。

算法原理

如果图是不带负权的有向图或者无向图,我们可以从s点开始寻找它的所有出边,与数组dis(每个点离原点s点的最短距离)进行比较,如果有小于dis[v]的路径,则松弛该点,最后可以得到一个所有最短路径的表。

算法步骤

  1. 初始化dis数组,原点赋值为0,其它点全部赋值为INF(为原点到该点的距离)。
  2. 重复n次操作,找到x的所有出边,对需要进行松弛的边进行松弛。

该算法的时间复杂度为$O(n^2)$,使用优先队列优化后的算法时间复杂度为$O((n+m)\log m)$。

文中代码边的存储使用链式前向星实现。

算法模板

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 5 * 10e5 + 5;
int n, m, s;
int dis[MAXN], book[MAXN], head[MAXN], cnt = 1;
priority_queue<pair<int, int> > que;

// 链式前向星
struct Edge {
int next, to, w;
} e[MAXN];

// 加一条边
void add(int u, int v, int w) {
e[cnt].w = w;
e[cnt].to = v;
e[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt++;
}

int main() {
cin >> n >> m >> s;
memset(head, -1, sizeof(head));
memset(book, 0, sizeof(book));
fill(dis, dis + MAXN, INF);

// 读入边
for (int i = 1; i <= m; i++) {
// 有向带权图
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
add(u, v, w);
}

// Dijkstra
dis[s] = 0;
que.push({0, s});
while (!que.empty()) {
int x = que.top().second;
que.pop();

// 请勿重复查找
if (book[x]) continue;
book[x] = 1;

// 扫描所有出边
for (int i = head[x]; i != -1; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if (dis[v] > dis[x] + e[i].w) {
dis[v] = dis[x] + e[i].w; // 松弛
que.push({-dis[v], v}); // 用pair实现可以把dis值赋值成负数就可以实现小根堆
}
}
}

for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << dis[i] << " ";

cout << endl;
return 0;
}

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